Александр Гашков родился 29 мая 1980 года в городе Краснокаменске Читинской области. Окончив Краснокаменский медицинский колледж, поступил на работу фельдшером выездной бригады отделения экстренной скорой неотложной помощи и санитарной авиации города Краснокаменска. В 2003 году поступил в  Читинскую государственную медицинскую академию по специальности «педиатрия», после чего прошел интернатуру по клинической лабораторной диагностике, а позднее и  курсы повышения квалификации в Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации по специальности «Организация здравоохранения и общественное здоровье».

В 2010 году назначен на должность врача-бактериолога в Центр гигиены и эпидемиологии в Забайкальском крае, с сентября 2011 года по февраль 2015 года работал заведующим лабораторией в городской больнице №2 в Чите, в 2013 году совмещал эту должность с работой заместителя директора по лечебной работе психоневрологического дома-интерната. С 2015 года по январь 2018 года возглавлял Тунгокоченскую ЦРБ. 

Последние три года возглавлял Новоспасскую районную больницу. С 2020 года работает в региональном Минздраве.